高中数学正弦定理、余弦定理公式及其推论 -凯发k8注册登录

任意三角形△abc，角a、b、c的对边分别记作a、b、c，则可得到正弦定理、余弦定理的公式及其推论如下。

正弦定理公式及其推论

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等。

正弦定理公式、余弦定理公式

一、正弦定理公式

a/sina=b/sinb=c/sinc=2r。

【注1】其中“r”为三角形△abc外接圆半径。下同。

【注2】正弦定理适用于所有三角形。初中数学中，三角形内角的正弦值等于“对比斜”仅适用于直角三角形。

二、正弦定理推论公式

1、

（1）a=2rsina；

（2）b=2rsinb；

（3）c=2rsinc。

2、

（1）a:b=sina:sinb；

（2）a:c=sina:sinc；

（3）b:c=sinb:sinc；

（4）a:b:c=sina:sinb:sinc。

【注】多用于“边”、“角”间的互化。

三角板的边角关系也满足正、余弦定理

3、由“a/sina=b/sinb=c/sinc=2r”可得：

（1）(a b)/(sina sinb)=2r；

（2）(a c)/(sina sinc)=2r；

（3）(b c)/(sinb sinc)=2r；

（4）(a b c)/(sina sinb sinc)=2r。

正弦定理推论公式

4、三角形abc中，常用到的几个等价。

（1）“a>b”、“a>b”、“sina>sinb”，三者间两两等价。

（2）“a b>c”等价于“sina sinb>sinc”。

（3）“a c>b”等价于“sina sinc>sinb”。

（4）“b c>a”等价于“sinb sinc>sina”。

5、三角形△abc的面积s=(abc)/4r。其中“r”为三角形△abc的外接圆半径。

部分三角函数公式

余弦定理公式及其推论

余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

一、余弦定理公式

（1）a^2=b^2 c^2-2bccosa；

（2）b^2=a^2 c^2-2accosb；

（3）c^2=a^2 b^2-2abcosc。

【注】余弦定理及其推论适用于所有三角形。初中数学，三角形内角的余弦值等于“邻比斜”仅适用于直角三角形。

二、余弦定理推论公式

1、cosa=(b^2 c^2-a^2)/2bc；

2、cosb=(a^2 c^2-b^2)/2ac；

3、cosc=(a^2 b^2-c^2)/2ab。

三角形的正弦定理和余弦定理公式及其推论常用来解三角形。对于某些复杂题，需要把正弦定理和余弦定理及其推论综合起来运用。

【例题】已知三角形△abc中，角a=，a=2，求三角形△abc外接圆的面积。

解：设三角形abc外接圆半径为r，

根据正弦定理得：a/sina=2r，

所以r=a/(2sina)=2，

所以，三角形abc的外接圆面积s=4π。

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