三角形重心、内心、外心、垂心定义、性质及应用 -凯发k8注册登录

一、定义

三角形中的重心、内心、外心和垂心的定义分别是：

1.三角形3条中线的交点称为三角形的重心；

2.三角形3个内角的平分线的交点称为三角形的内心；

3.三角形3条高的交点称为三角形的垂心；

4.三角形3条边的垂直平分线的交点称为三角形的外心。

它们在三角形中的位置如下表所示：       

二、应用 

1.重心

【性质】

（1）三角形的重心到顶点的距离等于这个顶点所引中线的2/3;

（2）重心与三顶点的连线，把三角形面积3等分．         

表示：三角形的重心通常用字母“g”表示。

例1. 如图所示，已知g为δabc的重心，求证：sδabg=s△bog=sδacg· 

证明：延长ag交bc于点d。

因为g为δabc的重心，所以bd=dc,所以

sδabd = sδadc =1/2 sδabc 

sδgbd = sδgdc =1/2 sδbgc

所以s△abd-sδgbd=sδadc-sδgdc

即sδabg = sδacg同理可得sδabg = sδbcg所以 sδabg = sδbcg = sδacg

例2. 如图所示，如果ad为δabc中bc边上的中线，g为重心，ge//bc交ac于点e,若bc=8厘米，求ge.

解：因为g为重心，

所以ag/ad=2/3,    

因为ad为bc边上的中线，

所以cd=1/2bc=4, 

因为ge//bc, 

所以 ge/dc=ag/ad

所以 ge=2/3×4=8/3（厘米）。         

2.内心【性质】

（1）三角形内心与各顶点的连线分别平分三角形各内角；

（2）三角形的内心与各顶点的连线的延长线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例；

（3）三角形的内心到三角形各边的距离都相等．         

表示：三角形内心通常用“i”表示。 

例3.如图所示，δabc中，∠a=78°,i为内心，求∠bic的度数。

解：因为i为内心，

所以∠1= ∠2, ∠3=∠4,

又∠1 ∠2 ∠3 ∠4=180°-∠a, 

所以∠2  ∠3=（1800-780）/2=510 

所以∠bic=180°-51°=129°.

例4. i是δabc的内心，连bi且延长bi交ac于点d,设bc=a，ac=b，ab=c，求证：bi/di=(a c)/b

证明：连接ic.

因为bd平分∠b,

所以dc/da=bc/ab

即 dc/(b-dc)=a/c

所以dc=ab/(a c)

又因为ic平分∠c

所以bi/di=bc/dc

所以bi/di=(a c)/b         

3.垂心

【性质】

有关垂心的问题可以运用直角三角形或四点共圆的性质来解题。

表示：三角形的垂心通常用字母“h”表示。

例5. 如图所示，锐角三角形abc中，∠bac=72°,h是垂心，求∠bhc的度数。

解： 利用垂心性质，运用四点共圆性质解题。

延长bh、ch分别交ac、ab于点e、d. 

因为h为垂心，

所以cd⊥ab,  be⊥ac,

所以a、e、h、d四点共圆，

所以 ∠dhe=180°- ∠a=108°, 

所以∠bhe=∠dhc=108°.

当δabc为钝角三角形时，易求∠bhc=72°.      

例6.如图所示，锐角三角形abc中，h是垂心，延长ah,交bc于点d,交δabc外接圆于点e,求证：hd=de.

证明：连接be、bh,并延长bh交ac于点f. 

因为h是重心，

所以 bf⊥ac, ad ⊥bc, 

所以 ∠cad= ∠cbf, 

又因为∠cad=∠cbe,

所以∠cbe= cbf, 

又因为bd⊥he,    

所以hd=de.         

4.外心

【性质】

外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形3个顶点的距离相等。

表示：三角形的外心通常用字母“o”表示。         

例7. 求证：由三角形任意一顶点到垂心的距离，等于外心到此顶点对边距离的2倍．      

如图所示，已知：h是δabc的垂心，o是δabc的外心，ol⊥bc,求证：ol=1/2ah

证明：

取ac、hc中点m、k,连接mk、lk、om,

因为点l、k、m分别为bc、hc、ac的中点，

所以lk //bh, mk //ah, mk=1/2ah

又因为bh⊥ac, om⊥ac,

所以 bh //om, lk //om,

同理，可得 ol//mk,

所以 四边形olkm为平行四边形，

所以ol=mk=1/2ah.