知识点1：集合的基本概念
1. 我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的整体叫做集合.
2. 集合三大特征：描述性，整体性，广泛性
3. 集合中元素的三大特征：确定性，互异性，无序性.
4. 若构成两个集合的元素一样，则两个集合相等.
5. 若a是a中的元素，则称a属于a，记作a∈a；若a不是a中的元素，则称a不属于a，记作a∉a.
6. 集合的两种表示方法：列举法，描述法。描述法可表示无限集，描述集合a中的元素x时，记作{x∈a|p(x)}，其中p(x)表示x的共同特征.
7. 常见数集：自然数集n 正整数 n 或n* 整数 z 有理数集 q 实数集 r 复数集 c
知识点2：子集与空集
8. 对于两个集合a,b,若集合a中任意一个元素都是集合b中的元素，则称集合a为集合b的子集，读作a包含于b（或b包含a），记作a⊆b（或b⊇a）.
9. 若a⊆b，且b⊆a，则a=b,集合a与集合b相等.
10. 若a⊆b，x∈b，且x∉a，则a为b真子集，读作a真包含于b（或b真包含a），记作a⫋b（或b⫌a）.集合间关系问题可用venn图解决.
11. 不含任何元素的集合叫空集，记作∅，空集是任何集合的子集.
12. 包含的两大性质：自反性（a⊆ a），传递性（若a⊆b，且b⊆c，则a⊆c）
13. ∅，0，{0}，{∅}的区别：∅是一个没有元素的集合，0是一个元素，{0}是一个只有0（元素）的集合，{∅}是一个只有空集（既是元素也是集合）的集合.
知识点3：并集、交集、补集与全集
15. 由所有属于a或属于b中的元素组成的集合称为a与b的并集，读作a并b，记作a∪b，即a∪b={x|x∈a或x∈b}.
16. 并集的性质：
①a∪b=b∪a；a⊆(a∪b)，b⊆(a∪b)；a∪a=a；a∪∅=a.
②若a∪b=b，则a⊆b；若a⊆b，则a∪b=b.
17. 由所有属于a且属于b中的元素组成的集合称为a与b的交集，读作a交b，记作a∩b，即a∩b={x|x∈a且x∈b}.
18. 交集的性质：
①a∩b=b∩a；(a∩b)⊆a，(a∩b)⊆b；a交a=a，a∩∅=∅.
②若a∩b=a，则a⊆b；若a⊆b，则a∩b=a.
19. 若一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，则称其为全集，通常记作u.
22. 做题时出现a⊆b时一定要考虑a=∅的特殊情况.
知识点4：充分条件与必要条件
24. 命题：若p，则q.其中p称为题设（条件），q称为结论.此时我们称由p可推出q，记作p⇒q.命题分为真命题与假命题. ¬是非的意思.
25. 四种命题：原命题（p⇒q）、逆命题（q⇒p）、否命题（¬p⇒¬q），逆否命题（¬q⇒¬p ），其中真命题的个数只能为0、2或4个.
26. 若p⇒q为真命题，我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇒q为假命题，我们称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.
27. 若既有p⇒q ，又有q⇒p ，则记作p⇔q，此时称p为q的充分必要条件，简称充要条件.显然，q也是p的充要条件.
28. 充分条件与必要条件的判定：
⑴ 定义法
① 若p⇒q且q ⇏p，则p是q的充分不必要条件；
② 若q⇒p且p ⇏q，则p是q的必要不充分条件；
③ 若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；
④ 若p ⇏q且q ⇏p，则p是q的不充分不必要条件.
⑵ 集合法：设满足p的元素构成a，满足q的元素构成b
① 若a⊆b，则p是q的充分条件；
② 若a⊇b，则p是q的必要条件；
③ 若a=b，则p是q的充要条件；
④ 若a⫋b，则p是q的充分不必要条件；
⑤ 若a⫌b，则p是q的必要不充分条件；
⑥ 若a⊄b，且b不包含于a，则p是q的不充分不必要条件.
知识点5：全称量词与存在量词
33.常见词语的否定：
等于 |不等于
大于 |不大于
小于 |不小于
是 |不是
都是 |不都是
任意的 |某个
所有的 |某些
之多有一个|至少有两个
至少有一个|一个也没有
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