初中几何模型-凯发k8注册登录

一．求线段和最值

（一）两定一动型

例1：如图， am⊥ef，bn⊥ef，垂足为m、n，mn＝12m，am＝5m，bn＝4m， p是ef上任意一点，则pa＋pb的最小值是______m．

分析：

这是最基本的将军饮马问题，a，b是定点，p是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点a关于ef的对称点a’，根据两点之间，线段最短，连接a’b，此时a’p＋pb即为a’b最短．而要求a’b，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决．

解答：

作点a关于ef的对称点a’，过点a’作a’c⊥bn的延长线于c．易知a’m＝am＝nc＝5m，bc＝9m，a’c＝mn＝12m，在rt△a’bc中，a’b＝15m，即pa＋pb的最小值是15m．

变式：

如图，在边长为2的正三角形abc中，e，f，g为各边中点，p为线段ef上一动点，则△bpg周长的最小值为_________．

分析：

考虑到bg为定值是1，则△bpg的周长最小转化为求bp＋pg的最小值，又是两定一动的将军饮马型，考虑作点g关于ef的对称点，这里有些同学可能看不出来到底是哪个点，我们不妨连接ag，则ag⊥bc，再连接eg，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得ae＝eg，则点a就是点g关于ef的对称点．最后计算周长时，别忘了加上bg的长度．

解答：

连接ag，易知pg＝pa，bp＋pg＝bp＋pa，当b，p，a三点共线时，bp＋pg＝ba，此时最短，ba＝2，bg＝1，即△bpg周长最短为3.

（二）一定两动型

例2：如图，在△abc中，ab＝ac＝5，d为bc中点，ad＝4，p为ad上任意一点，e为ac上任意一点，求pc＋pe的最小值．

分析：

这里的点c是定点，p，e是动点，属于一定两动的将军饮马模型，由于△abc是等腰三角形，ad是bc中线，则ad垂直平分bc，点c关于ad的对称点是点b，pc＋pe＝pb＋pe，显然当b，p，e三点共线时，be更短．但此时还不是最短，根据“垂线段最短” 只有当be⊥ac时，be最短．求be时，用面积法即可．

解答：

作be⊥ac交于点e，交ad于点p，易知ad⊥bc，bd＝3，bc＝6，

则ad·bc＝be·ac，

4×6＝be·5，be＝4.8

变式：

如图，bd平分∠abc，e，f分别为线段bc，bd上的动点，ab＝8，△abc的面积为20，求ef＋cf的最小值________．

分析：

这里的点c是定点，f，e是动点，属于一定两动的将军饮马模型，我们习惯于“定点定线作对称”，但这题这样做，会出现问题．因为点c的对称点c’必然在ab上，但由于bc长度未知，bc’长度也未知，则c’相对的也是不确定点，因此我们这里可以尝试作动点e关于bd的对称点．

解答：

如图，作点e关于bd的对称点e’，连接e’f，则ef＋cf＝e’f＋cf，当e’，f，c三点共线时，e’f＋cf＝e’c，此时较短．过点c作ce’’⊥ab于e’’，当点e’ 与点e’’重合时，e’’c最短，e’’c为ab边上的高，e’’c＝5.

（三）两定两动型

例3：如图，∠aob＝30°，oc＝5，od＝12，点e，f分别是射线oa，ob上的动点，求cf＋ef＋de的最小值.

分析：

这里的点c，点d是定点，f，e是动点，属于两定两动的将军饮马模型，依旧可以用“定点定线作对称”来考虑．作点c关于ob的对称点，点d关于oa的对称点．

解答：

作点c关于ob的对称点c’，点d关于oa的对称点d’，连接c’d’． cf＋ef＋de＝ c’f＋ ef＋ d’e，当c’，f， e，d’四点共线时，cf＋ef＋de＝ c’d’最短．易知∠d’oc’＝90°，od’＝12，oc’＝5，c’d’＝13，cf＋ef＋de最小值为13．

变式：

如图，斯诺克比赛桌面ab宽1.78m，白球e距ad边0.22m，距cd边1.4m，有一颗红球f紧贴bc边，且距离cd边0.1m，若要使白球e经过边ad，dc，两次反弹击中红球f，求白球e运动路线的总长度．

分析：

本题中，点e和点f是定点，两次反弹的点虽然未知，但我们可以根据前几题的经验作出，即分别作点e关于ad边的对称点e’，作点f关于cd边的对称点f’，即可画出白球e的运动路线，化归为两定两动将军饮马型．

解答：

作点e关于ad边的对称点e’，作点f关于cd边的对称点f’，连接e’f’，交ad于点g，交cd于点h，则运动路线长为eg＋gh＋hf长度之和，即e’f’长，延长e’e交bc于n，交ad于m，易知e’m＝em＝0.22m，e’n＝1.78＋0.22＝2m，nf’＝nc＋cf’＝1.4＋0.1＝1.5m，则rt△e’nf’中，e’f’＝2.5m，即白球运动路线的总长度为2.5m．

小结：

以上求线段和最值问题，几乎都可以归结为“两定一动”“一定两动”“两定两动”类的将军饮马型问题，基本方法还是“定点定线作对称”，利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”的2条重要性质，将线段和转化为直角三角形的斜边，或者一边上的高，借助勾股定理，或者面积法来求解．

当然，有时候，我们也需学会灵活变通，定点对称行不通时，尝试作动点对称．

（二）求角度

例1:p为∠aob内一定点，m，n分别为射线oa，ob上一点，当△pmn周长最小时，∠mpn＝80°．

（1）∠aob＝_____°

（2）求证：op平分∠mpn

分析：

这又是一定两动型将军饮马问题，我们应该先将m，n的位置找到，再来思考∠aob的度数，显然作点p关于oa的对称点p’，关于ob的对称点p’’，连接p’p’’，其与oa交点即为m，ob交点即为n，如下图，易知∠dpc与∠aob互补，则求出∠dpc的度数即可．

解答：

（1）法1：

如图，∠1＋∠2＝100°，∠1＝∠p’＋∠3＝2∠3，∠2＝∠p’’＋∠4＝2∠4，则∠3＋∠4＝50°，∠dpc＝130°，∠aob＝50°．

再分析：

考虑到第二小问要证明op平分∠mpn，我们就连接op，则要证∠5＝∠6，显然很困难，这时候，考虑到对称性，我们再连接op’，op’’，则∠5＝∠7，∠6＝∠8，问题迎刃而解．

解答：

（1）法2：

易知op’＝op’’，∠7＋∠8＝∠5＋∠6＝80°，∠p’op’’＝100°，由对称性知，∠9＝∠11，∠10＝∠12，∠aob＝∠9＋∠10＝50°

（2）由op’＝op’’，∠p’op’’＝100°知，∠7＝∠8＝40°，∠5＝∠6＝40°，op平分∠mpn．

变式：

如图，在五边形abcde中，∠bae＝136°，∠b＝∠e＝90°，在bc、de上分别找一点m、n，使得△amn的周长最小时，则∠amn＋∠anm的度数为________．

分析：

这又是典型的一定两动型将军饮马问题，必然是作a点关于bc、de的对称点a′、a″，连接a′a″，与bc、de的交点即为△amn周长最小时m、n的位置．

解答：

如图，

∵∠bae＝136°，

∴∠ma′a＋∠na″a＝44°

由对称性知，

∠maa′＝∠ma′a，

∠naa″＝∠na″a，

∠amn＋∠anm

＝2∠ma′a＋2∠na″a＝88°

思考题：

1.如图所示，正方形abcd的边长为6，△abe是等边三角形，点e在正方形abcd内，在对角线ac上有一点p，使pd pe的和最小，则这个最小值为_______．

2.如图，在矩形abcd中，ab=6，ad=4．p为矩形abcd内一点，若矩形abcd面积为△pab面积的4倍，则点p到a，b两点距离之和pa pb的最小值为________．