初中几何模型-阿氏圆数学模型（一）
初中几何模型-阿氏圆数学模型（二）
一、定义
“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”。
在“胡不归”问题中，我们见识了“kpa pb”最值问题，其中p点轨迹是直线，而当p点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题。
如下图，已知a、b两点，点p满足pa：pb=k（k≠1），则满足条件的所有的点p的轨迹构成的图形为圆。
这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
二、特点及性质
（一）特点
1.阿氏圆圆心与ab共线
2.到哪个点近，阿圆圆心就在哪一侧,
3.圆心绝不会在线段ab内
（二）性质
性质1：阿氏圆与直线 ab 的两个交点按定比a 内分 ab 和外分 ab。
性质2：若 p 为阿氏圆上任一点，阿氏圆与直线 ab 交于m、n，则 pn，pm 分别是∠apb 内外角的平分线。
性质3：非等腰三角形δabc 三边上的三个阿氏圆的圆心 oa、ob、oc三点共线。
性质4：
四个性质及应用具体如下图。
三、案例分析
1.如图 1 所示，⊙o 的半径为r，点 a、b 都在⊙o 外 ，p为⊙o上一动点，已知r=ob，连接 pa、pb，则当“pa kpb”的值最小时，p 点的位置如何确定？
解决办法：如图2，在线段 ob 上截取oc使 oc=r，则可说明△bpo与△pco相似，则有pb=pc。故本题求“pa kpb”的最小值可以转化为“pa pc”的最小值，其中与a与c为定点，p为动点，故当 a、p、c 三点共线时，“pa pc”值最小。
【技巧总结】
计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形
问题：在圆上找一点p使得的值最小，解决步骤具体如下：
1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即op，ob
2. 计算出这两条线段的长度比
3. 在ob上取一点c，使得，即构造△pom∽△bop，则，
4. 则，当a、p、c三点共线时可得最小值
2. 如图，在rt△abc中，∠c=90°，ac=4，bc=3，以点c为圆心，2为半径作圆c，分别交ac、bc于d、e两点，点p是圆c上一个动点，则的最小值为__________．
四、练习题
变式练习：如图1，在rt△abc中，∠acb=90°，cb=4，ca=6，圆c的半径为2，点p为圆上一动点，连接ap,bp，求①，②，③，④的最小值.
例题2. 如图，点c坐标为(2,5)，点a的坐标为(7,0)，⊙c的半径为,点b在⊙c上一动点，的最小值为________.
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